Pořád myslíte jako programátor a ne jako úředník

SO2 samozřejmě může dělat cokoliv, otázka je, jaké to bude mít následky (pro orgán i účastníka). V tomto konkrétním plánu opět nevidím moc velký smysl. Možné scénáře jsou následující:
1) SO1 absenci podpisu přehlédne (ať již skutečně či záměrně), vydá usnesení o zastavení řízení, vyrozumí účastníka a SO2
2) SO1 vyzve dle § 37, podpis je ve lhůtě doplněn
3) SO1 vyzve dle § 37, podpis není ve lhůtě doplněn
Postup dle 1) je zjevně chybný, podání nemělo náležitosti, SO k němu neměly přihlížet. Usnesení o zastavení odvolacího řízení je nezákonné. Nelze se proti němu odvolat (je pouze poznamenáno do spisu). Jakým opravným prostředkem jej napadnout je skutečný oříšek, formulace § 91(3) SprŘ totiž nasvědčuje tomu, že řízení není zastaveno tímto usnesením, to se zdá být jen deklaratorní povahy, řízení je zastaveno zpětvzetím odvolání posledním z odvolatelů. Dané deklaratorní usnesení je zřejmě způsobilé samostatného přezkumu v přezkumném řízení, ale patrně nelze napadnout žalobou proti rozhodnutí (je jen procesní povahy a nevyvolává materiální účinky, nejde o rozhodnutí v posledním stupni ve smyslu § 69 SŘS). Obranou proti nepokračování odvolacího řízení by tak patrně byla žádost o učinění o opatření proti nečinnosti a při její neefektivitě nečinnostní žaloba. Pokud by domněle pravomocné rozhodnutí mezitím někdo chtěl vykonat, je tomu třeba čelit příslušnými námitkami a opravnými prostředky určenými pro daný typ výkonu (dle daňového řádu, exekučního řádu atp.). Horší to je se samovykonávacími následky rozhodnutí (např. ztráta ŘO), ty jsou preventivně řešitelné zřejmě jen předběžným opatřením.
Scénáře 2) a 3) jsou zajímavé jen v případě, že by mezitím SO2 rozhodl, jinak není co řešit (ad 2 je pak odvolací řízení zastaveno a rozhodnutí nabyde právní moci, ad 3 se k podání nepřihlíží a vše běží dál, jako by se nic nestalo). K tomu zřejmě směřovala vaše otázka. Nemám to úplně rozmyšlené, ale řekl bych, že rozhodnutí SO2 nic nebrání, podmínku v § 91(3) větě poslední SprŘ je IMHO třeba vztáhnout až k okamžiku, kdy bude jasné, že odvolání opravdu bylo vzato zpět (tedy otevřena krabice se Schrödingerovou kočkou). S vadným podáním se to patrně má tak, že je-li jím činěn úkon vázaný na lhůtu, je tato lhůta zachována, je-li v ní učiněno alespoň toto vadné podání, jsou-li vady postupem dle § 37 následně opraveny. Samotné účinky podání ale vyvolá až poté, co je opraveno. Podmínka v § 91(3) nepředstavuje lhůtu, zpětvzetí lze učinit kdykoliv, ale nevyvolá účinky, je-li již vydáno rozhodnutí SO2. Podstatné je tedy jen to, kdy bylo opraveno, tedy kdy SO jeho oprava/doplnění došla (ne kdy byla podána) a zda tento okamžik nastal předtím nebo potom, co SO2 případně vydal rozhodnutí o odvolání.